Question

（选修4-4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2

5

sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3，

5

)，求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用极坐标公式ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ进行化简即可求出圆C普通方程；
（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得到关于参数t的一元二次方程，结合参数t的几何意义利用根与系数的关系即可求得|PA|+|PB|的值．

解答：解：（Ⅰ）∵圆C的方程为ρ=2

5

sinθ．
∴x2+y2-2

5

y=0，
即圆C的直角坐标方程：x2+(y-

5

)2=5．
（Ⅱ）(3-

2

2

t)2+(

2

2

t)2=5，即t2-3

2

t+4=0，
由于△=(3

2

)2-4×4=2＞0，故可设t₁，t₂是上述方程的两实根，
所以

t1+t2=3 2 t1t2=4

，又直线l过点P(3，

5

)，
故|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂=3

2

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．