题目内容

本题(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分.
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A=
33
cd
,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为
α
=
1
1
,属于特征值1的一个特征向量为
β
=
&-2

(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)判断矩阵A是否可逆,若可逆求出其逆矩阵A-1
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
,圆M的参数方程为
x=2cosθ
y=-2+2sinθ
(其中θ为参数).
(Ⅰ)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)求圆M上的点到直线的距离的最小值.
(3)选修4-5:不等式选讲,设函数f(x)=|x-1|+|x-a|;
(Ⅰ)若a=-1,解不等式f(x)≥3;
(Ⅱ)如果关于x的不等式f(x)≤2有解,求a的取值范围.
分析:(1)(Ⅰ)利用矩阵属于特征值的一个特征向量的定义,我们可以建立方程,从而可以求出c=2,d=4,即可得到矩阵A;
(Ⅱ)根据
.
33
24
.
=6≠0
,可知矩阵A可逆,,从而可求出A-1=
2
3
-
1
2
-
1
3
1
2

(2)(Ⅰ)先利用和角的三角函数展开,再利用极坐标与直角坐标的互化公式可以求出直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)利用圆M的普通方程为:x2+(y+2)2=4,再根据圆心M(0,-2)到直线x+y-1=0的距离公式,我们可以求出圆M上的点到直线的距离的最小值;
(3)(Ⅰ)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|.由f(x)≥3,得,|x-1|+|x+1|≥3,分类讨论,我们可以求出不等式的解集;
(Ⅱ)因为关于x的不等式f(x)≤2有解,所以,f(x)min≤2,从而我们可以得到|a-1|≤2,即可求出a的取值范围.
解答:(1)解:(Ⅰ)∵矩阵A属于特征值6的一个特征向量为
α
=
1
1
,∴A
α
=6
α

33
cd
1
1
=6
1
1
,得c+d=6①---------------(2分)
同理
33
cd
3
-2
=
3
-2
,得,3c-2d=-2②----------------(3分)
由①②联立,解得,c=2,d=4;∴A=
33
24
…(4分)
(Ⅱ)∵
.
33
24
.
=6≠0
,∴矩阵A可逆,…(5分)
A-1=
2
3
-
1
2
-
1
3
1
2
…(7分)
(2)(Ⅰ)∵ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
,∴
2
2
(ρsinθ+ρcosθ)=
2
2

∴ρsinθ+ρcosθ=1.----------------(2分)
所以,该直线的直角坐标方程为:x+y-1=0.----------------(3分)
(Ⅱ)圆M的普通方程为:x2+(y+2)2=4----------------(4分)
圆心M(0,-2)到直线x+y-1=0的距离d=
|0-2-1|
2
=
3
2
2
.---------------(5分)
所以,圆M上的点到直线的距离的最小值为
3
2
2
-2
.----------------(7分)
(3)(Ⅰ)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|.
由f(x)≥3,得,|x-1|+|x+1|≥3.
①当x≤-1时,不等式化为1-x-1-x≥3,即x≤-
3
2
.所以,原不等式的解为x≤-
3
2
.…(1分)
②当-1<x<1时,不等式化为1-x+1+x≥3,即2≥3.所以,原不等式无解.…(2分)
③当x≥1时,不等式化为-1+x+1+x≥3,即x≥
3
2
.所以,原不等式的解为x≥
3
2
.…(3分)
综上,原不等式的解为(-∞,-
3
2
]∪[
3
2
,+∞)
.…(4分)
(Ⅱ)因为关于x的不等式f(x)≤2有解,所以,f(x)min≤2.…(5分)
因为|x-1|+|x-a|表示数轴上的点到x=1与x=a两点的距离之和,
所以,f(x)min=|a-1|.…(6分)
∴|a-1|≤2,解得,-1≤a≤3.
所以,a的取值范围为[-1,3].…(7分)
点评:本题是选做题,考查矩阵,坐标系与参数方程,考查不等式,熟悉各个知识点,熟练运用公式是我们解题的关键.
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