题目内容

(2012•许昌三模)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为
x=a+4t
y=-1-2t
(t为参数)在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,极轴与x轴的非负半轴重合)中,圆C的方程为ρ=2
2
cos(θ+
π
4
).
(Ⅰ)求圆心C到直线l的距离;
(Ⅱ)若直线l被圆C截得的弦长为
6
5
5
,求a的值.
分析:(I)先将圆的极坐标方程化成直角坐标系下的方程,再将直线的参数方程化成直角坐标系下的方程,然后利用点到直线的距离求解即得;
(Ⅱ)由题意知圆心C到直线l的距离,再根据圆心距和半径构成的直角三角列出关于弦长的方程,解方程即可.
解答:解:(Ⅰ)圆C的方程整理可得:ρ2=2ρ(cosθ-sinθ)
化为标准方程得:(x-1)2+(y+1)2=2.圆心为(1,-1),半径为
2

直线l一般方程为:x+2y+2-a=0,故圆心C到l的距离d=
|1-a|
5
=
5
5
|1-a|
.----(5分)
(Ⅱ)由题意知圆心C到直线l的距离d=
2
2
-(
3
5
5
)2
=
5
5

由(Ⅰ)知
5
5
=
5
5
|1-a|
,得a=0或a=2.----(10分)
点评:本题主要考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程,以及直线和圆的位置关系的应用,属于基础题.
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