题目内容
【题目】解答题
(1)求函数f(x)=xlnx﹣(1﹣x)ln(1﹣x)在0<x≤ 上的最大值;
(2)证明:不等式x1﹣x+(1﹣x)x≤ 在(0,1)上恒成立.
【答案】
(1)解:f′(x)=1+ln(1﹣x)+2,
令f′(x)=0,解得:x= ﹣
(记为x0),
则f(x)在(0,x0)递减,在(x0, ]递增,
x→0+时,f′(x)→0,f(π)≤f( )=0,即xlnx﹣(1﹣x)ln(1﹣x)≤0,
∴f(x)在(0, ]上的最大值是0
(2)证明:∵g(x)=x1﹣x+(1﹣x)x满足:g(x)=g(1﹣x),
∴g(x)关于直线x= 对称,
故只需证明:x1﹣x+(1﹣x)x≤ 在(0,
]恒成立,
而g′(x)=x1﹣x(﹣lnx+ )+(1﹣x)x[ln(1﹣x)﹣
],
而g( )=
,只需证明g′(x)≥0,①在(0,
]恒成立,
而﹣xlnx+1﹣x>0,
即只需证明: ≥
②,
而由(1)可得0<x≤ 时,(1﹣x)1﹣x≥xx,即
≥1③,
要使②式成立,只需证明 ≤1在(0,
]上恒成立,
即只需φ(x)=xlnx﹣(1﹣x)ln(1﹣x)+2x﹣1≤0④,
由(1)得:xlnx﹣(1﹣x)ln(1﹣x)≤0,而2x﹣1≤0,
从而④式成立,
综合③④可知②式成立,
故①式得证,从而原不等式得证
【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出函数的单调区间,从而求出函数的最大值即可;(2)求出g(x)关于直线x= 对称,只需证明:x1﹣x+(1﹣x)x≤
在(0,
]恒成立,求出函数的导数,根据函数的单调性证明即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识,掌握求函数在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
日期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 | 6月10日 |
昼夜温差 x (℃) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
就诊人数 y(个) | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
该兴趣小组确定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程,再用1月和6月的2组数据进行检验.
(1)请根据2、3、4、5月的数据,求出y关于x的线性回归方程
;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
(参考公式: ,
)
参考数据:11×25+13×29+12×26+8×16=1092,112+132+122+82=498.