Question

5．已知三条直线l₁：x+y+1=0，l₂：2x-y+8=0，l₃：ax+3y-5=0．分别求出下列各题中a的值：
（1）三条直线相交于一点；
（2）三条直线只有两个交点；
（3）三条直线只有三个交点．

Answer 1

分析 （1）联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+1=0}\\{2x-y+8=0}\end{array}\right.$，解得交点，代入l₃：ax+3y-5=0，解得a即可得出；
（2）三条直线分别化为：y=-x-1，y=2x+8，y=-$\frac{a}{3}x$+$\frac{5}{3}$．当l₃∥l₁或l₃∥l₂时，三条直线只有两个交点；可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{3}=-1}\\{-1≠\frac{5}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{3}=2}\\{\frac{5}{3}≠8}\end{array}\right.$，解出即可．
（3）当直线l₃都与直线l₁，l₂相交且不相交于同一点时，三条直线只有三个交点．可得$-\frac{a}{3}≠$-1，且$-\frac{a}{3}$≠2，$a≠\frac{1}{3}$，解出即可．

解答 解：（1）联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+1=0}\\{2x-y+8=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=2}\end{array}\right.$，代入l₃：ax+3y-5=0，可得-3a+3×2-5=0，解得a=$\frac{1}{3}$．
∴当a=$\frac{1}{3}$时，三条直线相交于一点；
（2）三条直线分别化为：y=-x-1，y=2x+8，y=-$\frac{a}{3}x$+$\frac{5}{3}$．
当l₃∥l₁或l₃∥l₂时，三条直线只有两个交点；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{3}=-1}\\{-1≠\frac{5}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{3}=2}\\{\frac{5}{3}≠8}\end{array}\right.$，
解得a=3，或a=-6．
∴a=3，或a=-6，三条直线只有两个交点．
（3）当直线l₃都与直线l₁，l₂相交且不相交于同一点时，三条直线只有三个交点．
∴$-\frac{a}{3}≠$-1，且$-\frac{a}{3}$≠2，$a≠\frac{1}{3}$
即a≠3且a≠-6，a≠$\frac{1}{3}$．
∴a≠3且a≠-6，a≠$\frac{1}{3}$，三条直线只有三个交点．

点评 本题考查了直线的位置关系与斜率截距的关系、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．