题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）． 
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得 
+ 
= 
，求实数t的取值范围．
【答案】
（1）解：∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），
∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，
又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，
∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，
∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1
（2）解：由题意得OA=2 
，kOA=2，设l：y=2x+b，
则圆心M到直线l的距离：d= 
= 
，
则|BC|=2 
=2 
，BC=2 ，即2 =2 ，
解得b=5或b=﹣15，
∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15
（3）解： 
= 
，即 
，即| 
|=| 
|，
| |= 
，
又| |≤10，即 ≤10，解得t∈[2﹣2 
，2+2 ]，
对于任意t∈[2﹣2 ，2+2 ]，欲使 
，
此时，| |≤10，
只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为 
，
必然与圆交于P、Q两点，此时| |=| |，即 ，
因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2 ，2+2 ]
【解析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2 ， n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程．（2）由题意得OA=2 ，kOA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d= ，由此能求出直线l的方程．（3） = ，即| |= ，又| |≤10，得t∈[2﹣2 ，2+2 ]，对于任意t∈[2﹣2 ，2+2 ]，欲使 ，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为 ，由此能求出实数t的取值范围．
【考点精析】利用圆的一般方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项；(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了；(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显．
