题目内容
【题目】已知函数.
(1)若是偶函数,求
的值;
(2)设函数,当
时,
有且只有一个实数根,求
的取值范围;
(3)若关于的方程
在区间
上有两个不相等的实数根
,
,证明:
.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析
【解析】
(1)根据是偶函数,可得
,利用恒等,即可求出结果;
(2)当时,
有且只有一实根,可得
,然后再利用换元法,设
,
,转化为
,
有一实根,根据根的分布,即可求出结果;
(3)设,对分段函数的零点分析可得
,即
,
,消除
,整理可得
,进而可得
,据此即可求证结果.
(1)是偶函数,所以
,则
.
所以.
(2)当时,
有且只有一实根,即
,
设,则
,
所以,
有一实根,
∵恒成立,两根之积小于0,所以
,
∴.
(3)不妨设,则
,
若,与
矛盾,
若,与
是单调函数矛盾,
所以;
所以①,
②,
由①,得:,由②,得:
;
联立①、②消去得:
,即
,则
.
因为,所以
,即
.
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