题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
,如图所示,斜率为
且不过原点的直线
交椭圆
于两点
,线段
的中点为
,射线
交椭圆
于点
,交直线
于点
.
(1)求的最小值;
(2)若,求证:直线
过定点.
【答案】(1).(2)见解析
【解析】试题分析:(1)设,联立直线和椭圆方程,消去
,得到关于的
一元二次方程,利用韦达定理,求出点
的坐标和
所在直线方程,求点
的坐标,利用基本不等式即可求得
的最小值;
(2)由(1)知所在直线方程,和椭圆方程联立,求得点
的坐标,并代入
,得到
,因此得证直线过定点;
试题解析:(1)设直线 的方程为
,由题意,
,
由方程组,得
,
由题意,所以
,
设,
由根与系数的关系得,所以
,
由于为线段
的中点,因此
,
此时,所以
所在直线的方程为
,
又由题意知,令
,得
,即
,
所以,当且仅当
时上式等号成立,
此时由得
,因此当
且
时,
取最小值
.
(2)证明:由(1)知所在直线的方程为
,
将其代入椭圆的方程,并由
,解得
,
又,
由距离公式及得
,
,
,
由,得
,
因此直线的方程为
,所以直线
恒过定点
.
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