Question

15．已知△ABC各角的对应边分别为a，b，c，且满足$\frac{b}{a+c}$+$\frac{c}{a+b}$≥1，则角A的取值范围是（0，$\frac{π}{3}$]．

Answer 1

分析 将已知不等式化简整理，再由余弦定理，可得cosA≥$\frac{1}{2}$（0＜A＜π），再由余弦函数的单调性，即可得到A的范围．

解答 解：由$\frac{b}{a+c}$+$\frac{c}{a+b}$≥1，
可得，b（a+b）+c（a+c）≥（a+c）（a+b），
即b²+c²-a²≥bc，将不等式两边同除以2bc，
可得$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$≥$\frac{1}{2}$，
由余弦定理可得，cosA≥$\frac{1}{2}$（0＜A＜π）
所以0＜A≤$\frac{π}{3}$．
故答案为：（0，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题考查余弦定理的运用，考查化简整理的能力，以及余弦函数的单调性的运用，属于中档题．