题目内容

5.如图已知:菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2CD=4,∠ABE=60°,∠BAD=∠CDA=90°,点H,G分别是线段EF,BC的中点.
(1)求证:平面AHC⊥平面BCE;
(2)试问在线段EF上是否存在点M,使得MG∥平面AFD,若存在求FM的长并证明,若不存在,说明理由.

分析 (1)在菱形ABEF中,先证AH⊥平面ABCD,可得AH⊥BC;在直角梯形ABCD中,利用勾股定理可证AC⊥CB,即CB⊥平面AHC,从而证明平面AHC⊥平面BCE.
(2)设线段AD的中点为N,可证四边形FMGN是平行四边形,GM∥FN,又FN?平面AFD,可得MG∥平面AFD.

解答 解:(1)证明:在菱形ABEF中,因为∠ABE=60°,
所以△AEF是等边三角形,
又H是线段EF的中点,所以AH⊥EF⇒AH⊥AB,…(1分)
因为平面ABEF⊥平面ABCD,
所以AH⊥平面ABCD,
所以AH⊥BC; …(3分)
在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2CD=4,∠BAD=∠CDA=90°,
得到:AC=BC=2$\sqrt{2}$,
从而AC2+BC2=AB2
所以AC⊥CB,
所以CB⊥平面AHC…(5分),
又BC?平面BCE,
所以平面AHC⊥平面BCE.…(7分)
(2)存在,FM=3,
证明:设线段AD的中点为N,
则梯形ABCD中,得到:NG∥AB,NG=3,…(9分)
又FM∥AB,FM=3,
所以FM∥NG,FM=NG,
所以四边形FMGN是平行四边形,
所以GM∥FN,
又FN?平面AFD,MG∥平面AFD,
所以GM∥平面AFD.…(12分)

点评 本题主要考查了直线与平面平行的性质,平面与平面垂直的判定,考查了空间想象能力和推理论证能力,属于基本知识的考查.

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