Question

3．如图，已知是A，B是直二面角α-l-β的棱上两点，线段AC?α，线段BD?β，且AC⊥l，BD⊥l，AC=AB=6，BD=6$\sqrt{2}$，求线段CD的长．

Answer 1

分析 A，B是直二面角α-l-β的棱上两点，线段AC?α，线段BD?β，且AC⊥l，BD⊥l，可得AC⊥BD．于是$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}$=0．利用$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，利用数量积运算性质即可得出．

解答 解：∵A，B是直二面角α-l-β的棱上两点，线段AC?α，线段BD?β，且AC⊥l，BD⊥l，∴AC⊥平面β，∴AC⊥BD．
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}$=0．
∵$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，
∴${\overrightarrow{CD}}^{2}$=${\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{BD}}^{2}$+$2\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}$=${6}^{2}+{6}^{2}+（6\sqrt{2}）^{2}$=144，
∴$|\overrightarrow{CD}|$=12．

点评 本题考查了空间位置关系、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．