题目内容

(本小题满分14分)
一种计算装置,有一数据入口点A和一个运算出口点B ,按照某种运算程序:
①当从A口输入自然数1时,从B口得到 ,记为
当从A口输入自然数时,在B口得到的结果是前一个结果倍;
试问:当从A口分别输入自然数2 ,3 ,4 时,从B口分别得到什么数?试猜想的关系式,并证明你的结论。
,证明见解析。

由已知得 
时,
同理可得  ---------------------4分
猜想 -------------------6分
下面用数学归纳法证明成立
①当时,由上面的计算结果知成立   ------8分
②假设时,成立,即 ,
那么当时,
         
时,也成立      ---------------13分
综合①②所述,对 ,成立。-----14分
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