Question

【题目】已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上 上的点（不与点A、C重合），延长BD至F．

（1）求证：AD延长线DF平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+ ，求△ABC外接圆的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC．

又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，

且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，

又由对顶角相等得∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，

即AD的延长线DF平分∠CDE

（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，

由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°，

设圆半径为r，则r+ r=2+ ，得r=2，外接圆的面积为4π．

【解析】（1）根据A，B，C，D四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（2）设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，设圆半径为r，则r+ r=2+ ，求出r，即可求△ABC外接圆的面积．