题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)若和
在
有相同的单调区间,求
的取值范围;
(Ⅱ)令(
),若
在定义域内有两个不同的极值点.
(i)求的取值范围;
(ii)设两个极值点分别为,
,证明:
.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(i)
(ii)详见解析
【解析】【试题分析】(1)借助题设条件,运用导数与函数的单调性之间的关系分析求解;(2)先依据题设条件将问题进行等价转化,再运用导数知识分析求解:
(Ⅰ).函数
的定义域为
,
,
当时,
;当
时,
.
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
若在
上单调递减,在
上单调递增,
则.
(Ⅱ)(i)依题意,函数的定义域为
,
,
所以方程在
有两个不同根.
即方程在
有两个不同根,
转化为,函数与函数
的图象在
有两个不同交点,如图.
可见,若令过原点且切于函数图象的直线斜率为
,
只需.
令切点,所以
,又
,所以
,
解得,于是
,所以
.
(ii)由(i)可知,
分别是方程
的两个根,
即,
,不妨设
,作差得
,即
,
原不等式等价于
,即
,即
,
令,则
,
,即
,
设,
,
,
∴函数在
上单调递增,∴
,即不等式
成立,
故所证不等式成立.
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