题目内容
【题目】如图,在梯形中,
,
,
,四边形
是矩形,且平面
平面
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)当二面角的平面角的余弦值为
,求这个六面体
的体积.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)由,
,
,可得
,
,由面面垂直的性质可得结果;(2)以
为
轴,
轴,
轴建立平面直角坐标系,设
,利用向量垂直数量积为零列方程求出平面
的一个法向量与平面
的一个法向量,利用空间向量夹角余弦公式,列方程可求得
,由棱锥的体积公式可得结果.
(Ⅰ)在梯形中,∵
,
,
∴
,
∴,∵
.
∴,
∴,∴
.
∵平面平面
,平面
平面
,∴
平面
.
(Ⅱ)在中,
,∴
.
分别以为
轴,
轴,
轴建立平面直角坐标系, 设
,则
,
,
,
,
,则
,
,易知平面
的一个法向量为
,设
∵平面的法向量为
,∴
即
令
,则
,
,
∴平面的法向量为
,∵二面角
的平面角的余弦值为
,
∴,解得
,即
.
所以六面体的体积为:
.
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练习册系列答案
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【题目】“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号,现从“微信运动”的个好友(男、女各
人)中,记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下表:
0-2000步 | 2001-5000步 | 5001-8000步 | 8001-10000步 | >10000步 | |
男(人数) | 2 | 4 | 6 | 10 | 8 |
女(人数) | 1 | 7 | 10 | 9 | 3 |
(1)若某人一天的走路步数超过步被系统评定为“积极型”,否则评定为“懈怠型",根据题意完成下面的
列联表,并据此判断能否有
%的把握认为“评定类型"与“性别“有关?
积极型 | 懈怠型 | 总计 | |
男(人数) | |||
女(人数) | |||
总计 |
(2)现从被系统评定为“积极型”好友中,按男女性别分层抽样,共抽出人,再从这
人中,任意抽出
人发一等奖,求发到一等奖的
中恰有一名女性的概率.
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |