题目内容
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是
,以极点为原点,极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线
的参数方程为
(
为参数).
(I)写出直线的一般方程与曲线
的直角坐标方程,并判断它们的位置关系;
(II)将曲线向左平移
个单位长度,向上平移
个单位长度,得到曲线
,设曲线
经过伸缩变换
得到曲线
,设曲线
上任一点为
,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(I)极坐标方程两边乘以 ,利用
转化成直角坐标方程,然后将直线的参数方程的上式化简成
代入下式消去参数
即可,最后利用圆心到直线的距离与半径比较即可判定位置关系;(II)根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程,然后利用参数方程表示出曲线上任意一点,代入
,根据三角函数的辅助角公式,求出其范围即可.
试题解析:(I)直线的一般方程为
,
曲线的直角坐标方程为
.
因为,
所以直线和曲线
相切.
(II)曲线为
.
曲线经过伸缩变换
得到曲线的方程为
,
则点的参数方程为
(
为参数),
所以,
所以的取值范围为
.
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