题目内容
【题目】已知函数(
为自然对数的底数).
(1)若函数,求函数
的极值;
(2)讨论函数在定义域内极值点的个数;
(3)设直线为函数
的图象上一点
处的切线,证明:在区间
上存在唯一的
,使得直线
与曲线
相切.
【答案】(1)极大值;无极小值(2)当
时,无极值点,当
时,有两个极值点;(3)证明见解析
【解析】
(1)根据,得到
求导,利用极值点的定义求解.
(2)得到(
且
),求导
,令
,分
,
,两类讨论求解.
(3)设在的图象上的切点为
,切线
的方程为
,设直线
与曲线
相切于点
,根据导数值和函数值相等得到
,再根据(1)中
时的结论求解.
(1)因为函数,
所以,
所以,
令,解得
,
当时,
,当
时,
,
所以当时,
极大值
,无极小值
(2)(
且
),
,
令,
,
①当,即当
时,
,此时,
在
和
单调递增,无极值点;
②当时,即当
或
时,
函数有两个零点,
,
,
(ⅰ)当时,
因为,所以
,
所以函数在
单调递增,在
和
上单调减,在
上单调递增,此时函数
有两个极值点;
(ⅱ)当时,
因为,
所以,此时
,
在
和
单调递增,无极值点.
综上所述,当时,函数
无极值点,当
时,函数
有两个极值点.
(3)因为,
所以函数的图象上一点
处的切线
的方程可表示为
,
设直线与曲线
相切于点
,
因为,
所以,
消去并整理,得
,
由(1)可知,当时,函数
在
单调递增,
又,
,
所以函数在
上有唯一的零点,又因为
在
单调递增,
所以方程在
上存在唯一的根,
故在区间上存在唯一的
,使得直线
与曲线
相切.
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