题目内容
【题目】对于定义域为D的函数,若同时满足下列条件:①
在D内单调递增或单调递减;②存在区间
,使
在
上的值域为
,则把
叫闭函数。
(1)求闭函数符合条件②的区间
;
(2)判断函数是否为闭函数?并说明理由;
(3)已知是正整数,且定义在
的函数
是闭函数,求正整数
的最小值,及此时实数k的取值范围。
【答案】(1);(2)不是,理由见解析;(3)
。
【解析】
试题分析:(1)由题意,在
上递减,在
上的值域为
,故有
,求得
、
的值,可得结论;(2)取
,则由
,可得
不是
上的减函数。同理求得
不是
上的增函数,从而该函数不是闭函数;(3)由题意,可得方程
在
上有两个不等的实根.利用基本不等式求得当
时,
取得最小值为
.再根据函数
在
上递减,在
递增,而函数
与
在
有两个交点,可得正整数
的最小值为
,此时,
,由此求得
的范围。
试题解析:(1)由题意,在
上递减,则
解得
所以,所求的区间为
。
(2)取则
,即
不是
上的减函数。取
,即
不是
上的增函数。所以,函数在定义域内不单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函数。
(3)是闭函数,则存在区间
,使函数
的值域为
,
在
单调递增,即
,
为方程
的两个实根,即方程
在
上有两个不等的实根。
,当且仅当
时取等号考察函数
∵函数在
上递减,∴
。
∵在
递增,而函数
与
在
有两个交点。
所以正整数的最小值为
,
,此时
的取值范围为
。
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