Question

7．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}$x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值和最小值；
（Ⅱ）将函数f（x）图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）图象，求g（x）的对称轴方程和对称中心坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，根据x的范围和正弦函数的极值性即可得解；
（Ⅱ）由三角函数图形变换规律可求g（x），由2x=kπ，（k∈Z）可得对称轴，由2x=k$π+\frac{π}{2}$，（k∈Z）可得对称中心．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2$\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}$x=$\sqrt{3}$sin2x+1+cos2x，
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
∴f（x）的最大值为3--------------（6分）
（Ⅱ）∵$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，将函数f（x）图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）图象，
∴g（x）=2cos2x+2，
∴由2x=kπ，（k∈Z）可得对称轴为直线$x=\frac{kπ}{2}$，（k∈Z）
由2x=k$π+\frac{π}{2}$，（k∈Z）可得对称中心为$（\frac{π}{4}+\frac{kπ}{2}，2）$，（k∈Z）--------（12分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数图形变换规律，正弦函数，余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．