Question

18．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n是a_n²和a_n的等差中项．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求证：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜2．

Answer 1

分析 （1）由S_n是a_n²和a_n的等差中项．可得S_n=$\frac{1}{2}{a}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}{a}_{n}$．利用递推式与等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用等差数列的前n项和公式可得S_n，利用“裂项求和”、“放缩法”即可得出．

解答 （1）解：∵S_n是a_n²和a_n的等差中项．
∴S_n=$\frac{1}{2}{a}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}{a}_{n}$．
 令n=1，∴${a}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{1}$，
∵a₁＞0，∴a₁=1．
令n≥2，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}{a}_{n}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{n}$-$（\frac{1}{2}{a}_{n-1}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{n-1}）$，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）证明：∵S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，∴S_n=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$2（1-\frac{1}{n+1}）$＜2．

点评 本题考查了等差数列性质通项公式及其的前n项和公式、递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．