题目内容

8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足(2b-$\sqrt{3}$c)cosA=$\sqrt{3}$acosC.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若b=4,三角形的面积S=6,求a的值.

分析 (Ⅰ)由正弦定理化简已知等式可得2sinBcosA=$\sqrt{3}$sinB,由sinB>0,从而可求cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,结合A的范围即可得解.
(Ⅱ)由已知及三角形面积公式可求c,由余弦定理即可解得a的值.

解答 解:(Ⅰ)由正弦定理可得:2sinBcosA=$\sqrt{3}$(sinCcosA+sinAcosC),
得:2sinBcosA=$\sqrt{3}$sin(A+C),
即:2sinBcosA=$\sqrt{3}$sinB,
因为0<B<π,所以sinB>0,
从而cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
又0<A<π,
所以A=$\frac{π}{6}$…6分
(Ⅱ)由b=4,S=6=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×4×c×\frac{1}{2}$,解得:c=6.
由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosA=42+62-2×$4×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=52-24$\sqrt{3}$,
可解得:a=2$\sqrt{13-6\sqrt{3}}$.

点评 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,三角函数恒等变换的应用,属于基本知识的考查.

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