Question

15．某工厂年初用49万元购买一台新设备，第一年设备维修及原料消耗的总费用6万元，以后每年都增加2万元，新设备每年可给工厂创造收益25万元．
（1）工厂第几年开始获利？
（2）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：①年平均收益最大时，以14万元出售该设备；②总收益最大时，以9万元出售该设备．问出售该设备后，哪种方案年平均收益较大？

Answer 1

分析 （1）判断费用是以6为首项，2为公差的等差数列，设第n年时累计的纯收入为f（n）．求出通项公式，利用f（n）＞0，列出不等式，求解即可．
（2）方案①：列出年平均收入利用基本不等式求出最值；方案②：利用数列的函数的特征，通过二次函数求解最值即可．

解答 （本题满分16分）
解：（1）由题设，每年费用是以6为首项，2为公差的等差数列，
设第n年时累计的纯收入为f（n）．
∴f（n）=25n-[6+8+…+（2n+4）]-49=-n²+20n-49，…（3分）
获利即为：f（n）＞0∴-n²+20n-49＞0，即n²-20n+49＜0
⇒10-$\sqrt{51}$$＜n＜10+\sqrt{51}$，又n∈N，∴n=3，4，5，…，17． …6 分
∴当n=3时，即第3年开始获利；…（7分）
（2）方案①：年平均收入$\frac{f（n）}{n}=20-（{n+\frac{49}{n}}）≤20-14=6$（万元），此时n=7，
出售该设备后，年平均收益为$6+\frac{14}{7}=8$（万元）；…11 分
方案②：f（n）=-（n-10）²+51，
∴当n=10时，f（n）_max=51，
出售该设备后，年平均收益为$\frac{51+9}{10}=6$（万元），…15 分
故第一种方案年平均收益较大．  …16 分

点评 本题考查数列与函数的综合应用，基本不等式求解最值，武承嗣的性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．