Question

4．命题P：关于x的不等式x²+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；
命题q：复数Z₁=3+i，Z₂=a-i，i为虚数单位，则z=z₁•z₂在复平面内对应点位于第四象限，若“p或q”为真，且“p且q”为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题p容易得到△＜0，从而得到-2＜a＜2，对于命题q先求出复数z=（3a+1）+（a-3）i，根据z在复平面内对应的点位于第四象限即可得到$-\frac{1}{3}＜a＜3$，根据条件容易得到p，q一真一假，从而分别求出p真q假，p假q真时a的取值范围再求并集即可．

解答 解：由命题p知：△=4a²-16＜0；
解得-2＜a＜2；
由命题q：z=z₁•z₂=（3+i）（a-i）=（3a+1）+（a-3）i；
∵z在复平面内对应点位于第四象限；
∴$\left\{\begin{array}{l}3a+1＞0\\ a-3＜0\end{array}\right.⇒-\frac{1}{3}＜a＜3$；
∵“p或q”为真，且“p且q”为假；
∴p，q一真一假；
（1）若p真q假，所以有$\left\{\begin{array}{l}-2＜a＜2\\ a≤-\frac{1}{3}或a≥3\end{array}\right.⇒-2＜a≤-\frac{1}{3}$；
（2）若p假q真，所以有$\left\{\begin{array}{l}a≤-2或a≥2\\-\frac{1}{3}＜a＜3\end{array}\right.⇒2≤a＜3$；
则实数a的取值范围为$（-2，-\frac{1}{3}]∪[2，3）$．

点评 考查判别式△和二次函数值的关系，解一元二次不等式，掌握复平面的概念，复数坐标的定义，以及p或q，p且q的真假和p，q真假的关系．