题目内容

已知函数.
(I)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若,对都有成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)证明:).
(I)当时,单调递增区间为(0,+∞).当m>0时,单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞). (Ⅱ)实数的取值范围为.(Ⅲ)详见解析.

试题分析:(I)应用导数研究函数的单调性.遵循“求导数,令导数大(小)于0,解不等式,求单调区间”.
(Ⅱ)将问题转化成“对都有”,
通过求,得到函数在[2,2]上是增函数,
求得=g(2)=2-,利用2-,及得到实数的取值范围为.
(Ⅲ)通过构造函数,利用(I)确定的单调性得到,(当时取“=”号),利用“错位相减法”求得S=
证得).
试题解析:(I)   1分
在(0,+∞)单调递增. 2分
当m>0时,由    

>   4分
综上所述:当时,单调递增区间为(0,+∞).
当m>0时,单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞).   5分
(Ⅱ)若m=,,对都有成立等价于对都有 6分
由(I)知在[2,2]上的最大值= 7分

函数在[2,2]上是增函数,
=g(2)=2-,    9分
由2-,得,又因为,∴
所以实数的取值范围为. 10分
(Ⅲ)证明:令m=,则
由(I)知f(x)在(0,1)单调递增,(1,+∞)单调递减,
,(当x=1时取“=”号)
   11分

<    12分
令S=       ①
2S= ②
①-②得-S=
S=
)    14分
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