题目内容
直角三角形的直角顶点为动点,,为两个定点,作于,动点满足,当点运动时,设点的轨迹为曲线,曲线与轴正半轴的交点为.
(Ⅰ) 求曲线的方程;
(Ⅱ) 是否存在方向向量为m的直线,与曲线交于,两点,且 与的夹角为?若存在,求出所有满足条件的直线方程;若不存在,说明理由.
(Ⅰ) 求曲线的方程;
(Ⅱ) 是否存在方向向量为m的直线,与曲线交于,两点,且 与的夹角为?若存在,求出所有满足条件的直线方程;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)曲线的方程为;(Ⅱ)存在满足条件的直线.
(I)由题意知,点在以为直径的圆上,且除去两点.
即点坐标满足方程:.
设点,,则, ①
由知,,即.代入①式
得 ,即,曲线的方程为.
(II)由(I)知,点,假设直线存在,可设,设,不妨令 ,则由 得 .
,,,
. ,
则
,
则, 即,,解得或.
当时,向量与的夹角为,不合题意舍去;
当时,向量与的夹角为,符合题意.
综上,存在满足条件的直线.
即点坐标满足方程:.
设点,,则, ①
由知,,即.代入①式
得 ,即,曲线的方程为.
(II)由(I)知,点,假设直线存在,可设,设,不妨令 ,则由 得 .
,,,
. ,
则
,
则, 即,,解得或.
当时,向量与的夹角为,不合题意舍去;
当时,向量与的夹角为,符合题意.
综上,存在满足条件的直线.
练习册系列答案
相关题目