题目内容
【题目】已知函数 是
的导函数,
为自然对数的底数.
(1)讨论 的单调性;
(2)当 时,证明:
;
(3)当 时,判断函数
零点的个数,并说明理由.
【答案】
(1)
解:对函数 求导得
,
,
①当 时,
,故
在
上为减函数;
②当 时,解
可得
,故
的减区间为
,增区间为
;
(2)
,设 ,则
,
易知当 时,
,
;
即g( )>0.
(3)
由(1)可知,当 时,
是先减再增的函数,
其最小值为 ,
而此时 ,且
,故
恰有两个零点
,
∵当 时,
;当
时,
;当
时,
,
∴ 在
两点分别取到极大值和极小值,且
,
由 知
,
∴ ,
∵ ,∴
,但当
时,
,则
,不合题意,所以
,故函数
的图象与
轴不可能有两个交点.
∴函数 只有一个零点.
【解析】(1)g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性,可考虑二阶求导;(2)利用导数表示出单调性,根据单调性进行证明;(3)根据g(x)大致判断f(x)的单调性,并计算出极值点,将极值点代入f(x)中,判断f(x)零点的个数。
【考点精析】认真审题,首先需要了解基本求导法则(若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导).
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