题目内容
【题目】设集合
均为实数集
的子集，记
.
(1)已知
，试用列举法表示
；
(2)设
，当
且
时，曲线
的焦距为
，如果
，
，设中的所有元素之和为
，求的值；
（3）在（2）的条件下，对于满足
，且
的任意正整数
，不等式
恒成立， 求实数
的最大值.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【解析】
（1）根据新定义，直接计算
，即可.
（2）当
且
时，曲线
表示为焦点在
轴上的双曲线，确定
，则
，
.所以中的所有元素无重复，
，用分组求和法，求所有元素之和
.
（3）由
恒成立，可知
恒成立.由
得
，再根据均值定理，求解即可.
(1)因为
，所以当
时，
(2) 当且时，曲线
即曲线表示双曲线，
，当
时
成立.
显然当
时，
故中的所有元素无重复，即
又因为，所以
为等差数列，即
所以
(3)恒成立
恒成立
又，且
的任意正整数
所以
所以
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