题目内容
【题目】已知实数,设函数
.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,若对任意的
,均有
,求
的取值范围.
注:为自然对数的底数.
【答案】(1)在
内单调递减,在
内单调递增;(2)
【解析】
(1)求导后取出极值点,再分,
两种情况进行讨论即可.
(2)当时得出
的一个取值范围,再讨论
时的情况,再对
时构造函数两边取对数进行分析论证
时
恒成立.
(1)由,解得
.
①若,则当
时,
,故
在
内单调递增;
当时,
,故
在
内单调递减.
②若,则当
时,
,故
在
内单调递增;
当时,
,故
在
内单调递减.
综上所述,在
内单调递减,在
内单调递增.
(2),即
.
令,得
,则
.
当时,不等式
显然成立,
当时,两边取对数,即
恒成立.
令函数,即
在
内恒成立.
由,得
.
故当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减.
因此.
令函数,其中
,
则,得
,
故当时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增.
又,
,
故当时,
恒成立,因此
恒成立,
即当时,对任意的
,均有
成立.
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