题目内容
【题目】已知函数,.
(1)若曲线在处的切线方程为,求的值;
(2)在(1)的条件下,求函数零点的个数;
(3)若不等式对任意都成立,求a的取值范围.
【答案】(1)0;(2)两个;(3).
【解析】
(1)对函数求导,根据导数的几何意义,结合切线方程可以求出的值,最后计算即可;
(2)由(1)求出函数的单调性,根据零点存在原理,可以判断出函数零点的个数;
(3)设,对它进行求导,根据的不同取值,分类讨论判断出函数的单调调性,根据函数的最值情况求出a的取值范围.
(1),
由题意,,,解得,,,所以.
(2)由(1)知,,
令,得,
且当时,;当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
因为,,,函数在区间和上的图象是一条不间断的曲线,由零点存在性定理,
所以函数有两个零点.
(3)设,即,,
,
当时,,所以函数在单调递减,
所以最小值为,不合题意;
当时,,
令,得.
若,即时,函数在单调递减;
所以最小值为,只需,即,
所以符合;
若,即时,函数在上单调减,在上单调增,
所以的最小值为,
所以符合.
综上,a的取值范围是.
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