题目内容
【题目】已知二次函数满足:
,且该函数的最小值为1.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)若函数的定义域为
(其中
),问是否存在这样的两个实数
,
,使得函数
的值域也为
?若存在,求出
,
的值;若不存在,请说明理由.
(3)若对于任意的,总存在
使得
,求
的取值范围.
【答案】(1) (2) 存在满足条件的
,
,其中
,
(3)
【解析】试题分析: 设
,由
,求出
的值,可得此二次函数
的解析式;
分
时,当
时,当
时,三种情况讨论,可得满足条件的
,
,其中
,
;
若对于任意的
,总存在
,使得
,进而得到答案;
解析:(1)依题意,可设,因
,代入得
,所以
.
(2)假设存在这样的,
,分类讨论如下:
当时,依题意,
即
两式相减,整理得
,代入进一步得
,产生矛盾,故舍去;
当时,依题意
,
若,
,解得
或
(舍去);
若,
,产生矛盾,故舍去;
当时,依题意,
即
解得
,
产生矛盾,故舍去.
综上:存在满足条件的,
,其中
,
.
(3)依题意: ,
由(1)可知, ,
,
即在
上有解;
整理得,
有解,
又
,
,当
时,有
;
依题意: .

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