Question

【题目】设、为抛物线上的两点，与的中点的纵坐标为4，直线的斜率为.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点，、为抛物线（除原点外）上的不同两点，直线、的斜率分别为，，且满足，记抛物线在、处的切线交于点，线段的中点为，若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】

（1）先）设，，代入抛物线方程得到，，两式作差，结合直线的斜率以及与的中点的纵坐标，即可求出，得到抛物线方程；

（2）先设，，，表示出，，再根据，得到的关系，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，表示出直线的斜率，进而得到直线的方程，同理得到直线的方程，联立两直线方程求出，再由，即可求出结果.

解：（1）设，.

又、都在抛物线上，

即所以，.

由两式相减得，

直线的斜率为，.

两边同除以，且由已知得，

所以，即.

所以抛物线的方程为.

（2）设，，.

因为

所以，所以，

设直线的斜率为，则直线，

由消得.

由，得，即.

所以直线，

同理得直线.

联立以上两个方程解得

又，

所以，

所以.