题目内容
【题目】已知圆上一动点
,过点
作
轴,垂足为
点,
中点为
.
(1)当在圆
上运动时,求点
的轨迹
的方程;
(Ⅱ)过点的直线
与
交于
两点,当
时,求线段
的垂直平分线方程.
【答案】(1);(2)
或
.
【解析】分析:(1)要求点的轨迹
的方程,可设点
的坐标为
,由条件过点
作
轴,垂足为
点,
中点为
,可写出点A的坐标
。因为点
在圆
上,故可将点
的坐标代入圆
的方程
,可得点
的轨迹
。
(2)要线段的垂直平分线方程,应先求直线
的方程,所以应设直线
的方程,根据弦长求直线
的方程。因为直线
的斜率是否存在不确定,为了避免讨论,可设直线
方程为:
,并与轨迹
的方程联立可得
,由根与系数的关系可得
,由弦长公式可得
,可解得
。分情况讨论,求线段
的中点,直线
的斜率,进而可求线段
的垂直平分线方程。
详解:(1)设,则
将代入圆
方程得:点
的轨迹
(注:学生不写也不扣分)
(2)由题意可设直线方程为:
,
由得:
所以
所以.
当时,中点纵坐标
,代入
得:
中点横坐标,斜率为
故的垂直平分线方程为:
当时,同理可得
的垂直平分线方程为:
所以的垂直平分线方程为:
或
.
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