题目内容
19.方程sin(4x+$\frac{π}{3}$)-4sin(2x-$\frac{5π}{6}$)+cos(2x+$\frac{π}{6}$)+2=0的解集为{α|α=$\frac{7π}{6}$+2kπ或$\frac{11π}{6}$+2kπ(k∈Z)}.分析 设α=2x+$\frac{π}{6}$,由三角函数中的恒等变换应用化简可得sinα=-$\frac{1}{2}$,利用正弦函数的图象和性质即可得解.
解答 解:设α=2x+$\frac{π}{6}$
∵sin(4x+$\frac{π}{3}$)-4sin(2x-$\frac{5π}{6}$)+cos(2x+$\frac{π}{6}$)+2=0
⇒sin2(2x+$\frac{π}{6}$)-4sin(2x+$\frac{π}{6}$-π)+cos(2x+$\frac{π}{6}$)+2=0
⇒sin2α-4sin(α-π)+cosα+2=0
⇒sin2α+4sinα+cosα+2=0
⇒2sinαcosα+4sinα+cosα+2=0
⇒2sinα(cosα+2)+cosα+2=0
⇒(2sinα+1)(cosα+2)=0
⇒2sinα+1=0
⇒2sinα=-1
⇒sinα=-$\frac{1}{2}$
⇒α=$\frac{7π}{6}$+2kπ或$\frac{11π}{6}$+2kπ(k∈Z)
∴解集为:{α|α=$\frac{7π}{6}$+2kπ或$\frac{11π}{6}$+2kπ(k∈Z)}
故答案为:{α|α=$\frac{7π}{6}$+2kπ或$\frac{11π}{6}$+2kπ(k∈Z)}
点评 本题主要考查了三角函数恒等变化的应用,考查了正弦函数的图象和性质的应用,属于基本知识的考查.
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