题目内容
14．已知抛物线f（x）=x2+px+q上有一点M（x0，f（x0））位于x轴的下方．（1）求证：f（x）必与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x0＜x2（x1＜x2）；
（2）若点M为（1，-2）时，求整数x1，x2．
分析 （1）根据函数f（x）=x2+px+q=${（x+\frac{p}{2}）}^{2}$+q-$\frac{{p}^{2}}{4}$ 上有一点M（x0，f（x0））位于x轴的下方，可得y0=${{（x}_{0}+\frac{p}{2}）}^{2}$+q-$\frac{{p}^{2}}{4}$＜0，求得△＞0，即可证得结论．
（2）利用韦达定理可得x1 +x2 =-p，x1•x2 =q，f（x）=x2-（x1 +x2）x+x1•x2 ．再把点M为（1，-2）代入可得即（x1 -1）（x2 -1）=-2，再根据整数x1，
x2 满足x1＜x2 ，求得整数x1，x2的值．
解答 （1）证明：函数f（x）=x2+px+q=${（x+\frac{p}{2}）}^{2}$+q-$\frac{{p}^{2}}{4}$．
∵抛物线f（x）=x2+px+q上有一点M（x0，f（x0））位于x轴的下方，
故有y0=${{（x}_{0}+\frac{p}{2}）}^{2}$+q-$\frac{{p}^{2}}{4}$＜0，∴p2＞4q，∴△=p2-4q＞0，
∴f（x）的图象必与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2 ，
设抛物线f（x）=（x-x1）（x-x2），将x0代入可得f（x0）=（x0-x1）（x0-x2）＜0，
∴x1＜x0＜x2 ．
（2）解：根据抛物线f（x）=x2+px+q，再利用韦达定理可得x1 +x2 =-p，x1•x2 =q，
故f（x）=x2-（x1 +x2）x+x1•x2 ．
再把点M为（1，-2）代入可得，1-（x1 +x2）x+x1•x2 =-2，
即（x1 -1）（x2 -1）=-2，再根据整数x1，x2 满足x1＜x2 ，
可得x1 -1=-1、x2 -1=2，或x1 -1=-2、x2 -1=1．
求得x1 =0、x2 =3； 或x1 =-1、x2 =2．
点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
| A． | 115种 | B． | 125种 | C． | 135种 | D． | 145种 |
| A． | [$\frac{3π}{2}$，2π] | B． | （$\frac{3π}{2}$，2π） | C． | [$\frac{7π}{4}$，2π] | D． | （$\frac{7π}{4}$，2π） |