题目内容
3.
(Ⅰ)求证:平面SAB⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角A-AC-B的余弦值.
分析 (Ⅰ)连接AC,取AB的中点E,连接SE、EC,证明SE⊥面ABCD,即可证明平面SAB⊥平面ABCD;
(Ⅱ)过E作EG⊥AC,垂足为G,连接SG,证明∠SGE是二面角A-AC-B的平面角,求出SG,即可求二面角A-AC-B的余弦值.
解答 (Ⅰ)证明:取AB的中点E,连接SE、EC,
∵SA=SB=$\sqrt{2}$,∴SE⊥AB,AB=2,∴SE=1,
又四棱锥S-ACDE的底面为菱形,且∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,AB=2,
∴CE=$\sqrt{3}$,
又SC=2,∴SC2=CE2+SE2,
∴SE⊥EC,∴SE⊥面ABCD,
∵SE?平面SAB,
∴平面SAB⊥平面ABCD;
(Ⅱ)解:过E作EG⊥AC,垂足为G,连接SG,
由(Ⅰ)可得AC⊥SE,
∴AC⊥平面SEG,
∴SG⊥AC,
∴∠SGE是二面角A-AC-B的平面角.
在Rt△SEG中,SE=1,EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴SG=$\frac{\sqrt{7}}{2}$,
∴cos∠SGE=$\frac{\sqrt{21}}{7}$,
∴二面角A-AC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$.
点评 本题在四棱锥中证明面面垂直,并求二面角A-AC-B的余弦值.着重考查了平面与平面垂直的判定定理和二面角的平面角等知识,属于中档题.

练习册系列答案
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8.根据如下样本数据:
得到的回归方程为$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$,则( )
x | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
y | -3.0 | -2.0 | 0.5 | -0.5 | 2.5 | 4.0 |
A. | a>0,b>0 | B. | a<0,b<0 | C. | a>0,b<0 | D. | a<0,b>0 |
13.函数y=f(x)图象如图所示,则函数的单调减区间为( )


A. | [-3,3] | B. | [-1,2] | C. | [-3,-1] | D. | [2,3] |