Question

5．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0，a²-b²=c²，c＞0）与y轴正半轴的交点为B，点P在椭圆上，则|BP|的最大值为（　　）

• A． 2b
• B． $\frac{{a}^{2}}{c}$
• C． 2b或$\frac{{b}^{2}}{c}$
• D． 2b或$\frac{{a}^{2}}{c}$

Answer 1

分析 根据椭圆的方程得到B（0，b），P点在椭圆上，从而可设P（acosθ，bsinθ），根据两点间距离公式并配方可以得到$|BP|=\sqrt{-{c}^{2}（sinθ+\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}）^{2}+{a}^{2}+{b}^{2}+\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}}$，可以看出要求|BP|的最大值，需讨论b，c关系：b＞c时，sinθ=-1时，|BP|取到最大值；b≤c时，sinθ=$-\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$时，|BP|取到最大值，这样求出这两种情况下的最大值即可找出正确选项．

解答 解：根据条件知，B（0，b），设P（acosθ，bsinθ），则：
$|BP|=\sqrt{{a}^{2}co{s}^{2}θ+{b}^{2}（sinθ-1）^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}co{s}^{2}θ+{b}^{2}si{n}^{2}θ-2{b}^{2}sinθ+{b}^{2}}$
=$\sqrt{-{c}^{2}si{n}^{2}θ-2{b}^{2}sinθ+{a}^{2}+{b}^{2}}$
=$\sqrt{-{c}^{2}（sinθ+\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}）^{2}+{a}^{2}+{b}^{2}+\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}}$
∴①若b＞c，则$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}＞1$；
∴sinθ=-1时，|BP|取最大值$\sqrt{-{c}^{2}（-1+\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}）^{2}+{a}^{2}+{b}^{2}+\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}}$=$\sqrt{2{b}^{2}+2{b}^{2}}=2b$；
②若b≤c，则$0＜\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}≤1$；
∴sin$θ=-\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$时，|BP|取最大值$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}{c}^{2}+{b}^{2}{c}^{2}+{b}^{4}}{{c}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}}{c}$；
∴|BP|的最大值为2b或$\frac{{a}^{2}}{c}$．
故选：D．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆上点设成（acosθ，bsinθ）是本题求解的关键，这样可将两个变量x，y变成一个变量θ，便于求最值，以及两点间距离公式，配方求二次式子的最值的方法．