Question

4．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，若{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}都是等差数列，且公差相等，则a₂=（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． 1
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由题目给出的条件{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}都是等差数列，且公差相等，把$\sqrt{{S}_{2}}$与$\sqrt{{S}_{3}}$都用a₁和d表示，两边平方后求解a₁和d，则答案可求．

解答 解：由题意知数列{a_n}的首项为a₁，公差为d．
因为数列{a_n}的前n项和是S_n，
所以$\sqrt{{S}_{1}}$=$\sqrt{{a}_{1}}$，$\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{2{a}_{1}+d}$，$\sqrt{{S}_{3}}$=$\sqrt{3{a}_{1}+3d}$．
又{$\sqrt{{S}_{n}}$}也是公差为d的等差数列，
则$\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{2{a}_{1}+d}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+d，两边平方得：2a₁+d=a₁+2d$\sqrt{{a}_{1}}$+d²①
$\sqrt{{S}_{3}}$=$\sqrt{3{a}_{1}+3d}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+2d，两边平方得：3a₁+3d=a₁+4d$\sqrt{{a}_{1}}$+4d²②
②-①得：a₁=-2d+2d$\sqrt{{a}_{1}}$+3d²③，
把③代入①得：d（2d-1）=0．
所以d=0或d=$\frac{1}{2}$．
当d=0时，a₁=0，不合题意，
当d=$\frac{1}{2}$时，代入③解得a₁=$\frac{1}{4}$．
所以a₂=a₁+d=$\frac{3}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，考查了学生的计算能力，是基础的计算题．