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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
经过点
,其倾斜角为
,以原点
为极点,以
轴为非负半轴为极轴,与坐标系
取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线
的极坐标方程为
.
(1)若直线与曲线
有公共点,求倾斜角
的取值范围;
(2)设为曲线
上任意一点,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】分析:(1)利用互化公式即可把曲线C的极坐标方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0化为直角坐标方程.直线l的参数方程为(t为参数),代入曲线C的直角坐标方程可得t2﹣8tcosα+12=0,根据直线l与曲线C有公共点,可得△≥0,利用三角函数的单调性即可得出.
(2)曲线C的方程x2+y2﹣2x﹣3=0可化为(x﹣1)2+y2=4,参数方程为,(θ为参数),设M(x,y)为曲线上任意一点,可得x+y=1+2cosθ+2sinθ,利用和差公式化简即可得出取值范围.
详解:(1)将曲线的极坐标方程
化为直角坐标方程为
,
直线的参数方程为
(
为参数),
将参数方程代入,整理
,
∵直线与曲线
有公共点,∴
,
∴,或
,∵
,
∴的取值范围是
(2)曲线的方程
可化为
,
其参数方程为(
为参数),
∵为曲线上任意一点,
∴
,
∴的取值范围是
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