Question

【题目】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为 ，且各件产品是否为优质品相互独立．
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，

第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，

这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，

所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）

= =

（2）解：X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）= ，P（X=500）= ，

P（X=400）=1﹣ ﹣ = ，故X的分布列如下：

X	400	500	800
P

故EX=400× +500× +800× =506.25

【解析】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1 ， 第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2 ， 第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1 ， 第二次取出的1件产品是优质品为事件B2 ， 这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（2）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．