题目内容
【题目】已知,令
求
能取到的不同的整数值的个数.
【答案】1005
【解析】
因为,
,
所以,.
设和式中有
个
,
个
,
个1.则
,且
.
故
.
若为整数,则
.此时,
.
(1)当时,
中至少有1007个
,1007个
,即至少有2014个数,矛盾.
当时,
中至少有1006个
,1006个
.
(i)中有1006个
,1007个
.
由于中有1005个
,则这1006个
在
中连在一起,
即,
,
,
其中,.故
.
(ii)中有1007个
,1006个
.类似有,
,
,
,
其中,.
综合(i)、(ii),共有2012个,使
取最大值6032.
(2)用数学归纳法证明:当时,存在
使得
.
当时,由(1)已证.
假设当时,存在
使得
.
将中连续的压
(或
)称为一段.分别从段长度大于1的
段、
段中各取一个,放在数列末尾(若原末尾为
,则取出的
放最末尾;若原末尾为
,则取出的
放最末尾).
于是,和式中的、
各减少l,
增加2.此时,
.
故当时,结论成立.
综上,能取到的不同整数值个数为1005.
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