Question

【题目】对一堆100粒的石子进行如下操作：每次任选石子数大于1的一堆任意分成不空的两堆，直到每堆1粒（100堆）为止．证明：

（1）无论如何操作，必有某个时刻存在20堆，其石子总数为60；

（2）可以进行适当地操作使得任何时刻不存在19堆，其石子总数为60．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）易知，19步后石子分成20堆，记此以后第步操作后粒数最多的20堆之和为．

显然，单调不增．

若不存在，则，而．

设中各堆的粒数为，其中，某个分裂成两堆，重排后得的各堆的粒数为．则．

只有三种可能的重排情形．

（i）若，离开，，则．

（ii）若，离开，，则．

（iii）若，（是第步后粒数仅次于的堆），则．

由于，只能，，，．

但此时，故．

之外的各堆粒数均为1或2，总粒数为为奇数，故必有一堆粒数是1，将其与交换即得第步后有20堆，其石子总数为60．

（2）称初始堆为“主堆”，每步从中分出3粒，33步后成为33个3粒堆和一个1粒堆．该过程中主堆的粒数始终为模3余1，其他堆为3粒．故任意19堆若不含主堆，石子总数为57，而若含主堆，石子总数为模3余1，也不等于60．

此后无论如何操作，由于每堆不多于3粒，任意19堆的石子总数不多于57，因此，任何时刻均不存在19堆，其石子总数为60．