题目内容
【题目】在四棱锥中,底面
为菱形,
,
平面
,且
,
,
是
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)连接AC,交BD于点O,连接PO,则PO与CF相交,设交点为E,则AC⊥BD,PC⊥BD,BD⊥CF,PO⊥CF,由此能证明CF⊥平面PDB;
(2)过点P作PG,使得 PG=BC,则GP∥AD∥BC,从而二面角AD-P-BC,即二面角C-PG-D,在平行四边形ADGP中,过点P作AD的垂线,垂足为H,则∠HPC即所求二面角的平面角,由此能求出平面ADP与平面BCP所成锐二面角的余弦值;
(1)连接,交
于点
,连接
,
由于,
平面
,所以
与
相交,设交点为
,
∵底面为菱形,
∴,
又∵平面
,
∴,∴
平面
,
又∵平面
∴
,
在中,∵
,
∴
,
,
,
,
,
,
∴,又因为两个角都是锐角,
∴,则
,即
,
∵,
、
平面
,
∴平面
(2)过点作
,使得
,
∵底面为菱形,
∴,所以二面角
即二面角
,
在中,过点
作
的垂线,垂足为
,则
,
又∵平面
,∴
∴
,
∴即所求二面角的平面角,
∵,
∴
平面
∴
又∵,
∴
,
在中,
,
,
,∴
,
∴,即所求二面角的平面角的余弦值为
.
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