题目内容

【题目】已知函数.

1,求曲线在点处的切线方程;

2若曲线与直线只有一个交点,求实数的取值范围.

【答案】12.

【解析】

试题分析:1求点处的切线方程,只要求出导数,则有切线方程为2曲线与直线只有一个交点,说明关于的方程只有一个实根,不可能是根,因此方程可转化为方程只有一个实根,这样问题又转化为函数的图象与直线只有一个交点,因此只要研究函数的单调性,极值,函数值变化情况,作出简图就可得出结论.

试题解析:1,所以切线方程为.

2曲线与直线只有一个交点,等价于关于的方程只有一个实根.

显然,所以方程只有一个实根.

设函数,则.

为增函数,又.

所以当时,为增函数;

时,为减函数;

时,为增函数;

所以时取极小值.

又当趋向于时,趋向于正无穷;

又当趋向于负无穷时,趋向于负无穷;

又当趋向于正无穷时,趋向于正无穷.所以图象大致如图所示:

所以方程只有一个实根时,实数的取值范围为.

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