题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求曲线在
点处的切线方程;
(2)若曲线与直线
只有一个交点,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)求点处的切线方程,只要求出导数
,则有切线方程为
;(2)曲线
与直线
只有一个交点,说明关于
的方程
只有一个实根,
不可能是根,因此方程可转化为方程
只有一个实根,这样问题又转化为函数
的图象与直线
只有一个交点,因此只要研究函数
的单调性,极值,函数值变化情况,作出简图就可得出结论.
试题解析:(1),
,
,所以切线方程为
.
(2)曲线与直线
只有一个交点,等价于关于
的方程
只有一个实根.
显然,所以方程
只有一个实根.
设函数,则
.
设,
,
为增函数,又
.
所以当时,
,
为增函数;
当时,
,
为减函数;
当时,
,
为增函数;
所以在
时取极小值
.
又当趋向于
时,
趋向于正无穷;
又当趋向于负无穷时,
趋向于负无穷;
又当趋向于正无穷时,
趋向于正无穷.所以
图象大致如图所示:
所以方程只有一个实根时,实数
的取值范围为
.
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