题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若曲线与直线只有一个交点,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
试题分析:(1)求点处的切线方程,只要求出导数,则有切线方程为;(2)曲线与直线只有一个交点,说明关于的方程只有一个实根,不可能是根,因此方程可转化为方程只有一个实根,这样问题又转化为函数的图象与直线只有一个交点,因此只要研究函数的单调性,极值,函数值变化情况,作出简图就可得出结论.
试题解析:(1),,,所以切线方程为.
(2)曲线与直线只有一个交点,等价于关于的方程只有一个实根.
显然,所以方程只有一个实根.
设函数,则.
设,,为增函数,又.
所以当时,,为增函数;
当时,,为减函数;
当时,,为增函数;
所以在时取极小值.
又当趋向于时,趋向于正无穷;
又当趋向于负无穷时,趋向于负无穷;
又当趋向于正无穷时,趋向于正无穷.所以图象大致如图所示:
所以方程只有一个实根时,实数的取值范围为.