Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是一个正三角形，若平面PAD⊥平面ABCD，则该四棱锥的外接球的表面积为_____.

Answer 1

【答案】.

【解析】

过P作交AD于F，取BC的中点G，连接PG，FG，在PF的三等分点H（PH＝２HF），取GF的中点E，在平面PFG过E，F分别作GF，PF的垂线，交于点O，可证O为四棱锥的外接球的球心，利用直角三角形可求半径，即得解.

过P作交AD于F，取BC的中点G，连接PG，FG，在PF的三等分点H（PH＝２HF），取GF的中点E，在平面PFG过E，F分别作GF，PF的垂线，交于点O

因为为等边三角形，AF=FD，所以，

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD 平面ABCD=AD，平面PAD

所以PF⊥平面ABCD，平面ABCD，故PF⊥GF

又四边形ABCD为正方形，G，F为BC,AD的中点，故FG//CD，故AD⊥GF

因为平面PAD

在直角三角形PGF中，平面ABCD

同理OH⊥平面PAD

因为E是正方形ABCD的中心，故球心在直线OE上，

因H是的中心，故球心在直线OH上，故O为球心，OP为球的半径

在直角三角形PGF中，

故

所以球的表面积为：

故答案为：