题目内容
【题目】已知函数f（x）＝（x﹣1）ex+ax2（a∈R）．
（1）若a＝e，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
【答案】（1）3ex﹣y﹣2e＝0（2）①当a≥0时， y＝f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数；
②当
时y＝f（x） 在 （﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上为增函数，在（ln（﹣2a），0）上为减函数；
③若
时，y＝f（x）在
上为单调递增的；
④若
时，y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上为增函数，在（0，ln（﹣2a）） 上为减函数．
【解析】
（1）由a＝e得f（x）＝（x﹣1）ex+ex2．再
＝xex+2ex，分别求得
，f（1），用点斜式写出切线方程.．
（2）根据＝x（ex+2a），分a≥0， ， ，四种情况分类讨论.
（1）∵a＝e，
∴f（x）＝（x﹣1）ex+ex2．
∴＝xex+2ex，
∴＝3e，f（1）＝e．
∴y﹣e＝3e（x﹣1），
所以切线方程是3ex﹣y﹣2e＝0；
（2）∵＝x（ex+2a）
①若a≥0时，ex+2a＞0．
当
时，
，
当
时，
所以y＝f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数；
②若时，ln（﹣2a）＜0，
当x＜ln（﹣2a）或x＞0，＞0，
当ln（﹣2a）＜x＜0时，＜0，
∴y＝f（x） 在 （﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上为增函数，在（ln（﹣2a），0）上为减函数；
③若时，ln（﹣2a）=0，＞0成立，所以y＝f（x）在上为单调递增的；
④若时，ln（﹣2a）＞0，
当x＞ln（﹣2a）或x＜0时，＞0，
当0＜x＜ln（﹣2a）时，＜0，
∴y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上为增函数，在（0，ln（﹣2a）） 上为减函数．
综上：①若a≥0时， y＝f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数；
②若时， y＝f（x） 在 （﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上为增函数，在（ln（﹣2a），0）上为减函数；
③若时， y＝f（x）在上为单调递增的；
④若时，y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上为增函数，在（0，ln（﹣2a）） 上为减函数．
