题目内容
【题目】红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.（表中
）
平均温度 | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | 32 | 35 | ||
平均产卵数 | 7 | 11 | 21 | 24 | 66 | 115 | 325 | ||
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| |||||
27.429 | 81.286 | 3.612 | 40.182 | 147.714 | |||||
（1）根据散点图判断，
与
（其中
自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）
（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为
.
①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为
，求的最大值，并求出相应的概率p.
②当取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差.
附：线性回归方程系数公式
.
【答案】（1）
更适宜，
；（2）①
，
；②
，
【解析】
（1）根据散点图选择合适函数模拟，利用变量
，构造线性回归方程，利用已知量求解出关于
的线性回归方程，即可求解出y关于x的回归方程；
（2）①先表示出
，然后根据
分析出的最大值以及
的值；
②根据的值以及二项分布的均值与方差的计算方法求解出结果即可.
解：（1）根据散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数
y关于平均温度x的回归方程类型；
对两边取自然对数，得
；
令
，得
；
因为
，
；
所以z关于x的回归方程为
；
所以y关于x的回归方程为；
（2）（i）由
，
得
，
因为
，令
，得
，解得
；
所以在
上单调递增，在
上单调递减，
所以有唯一的极大值为
，也是最大值；
所以当时，
；
（ii）由（i）知，当取最大值时，，所以
，
所以X的数学期望为
，
方差为
.
