题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
,
,点
分别为
的中点.
(1)求证:平面平面EFD;
(2)求点到平面
的距离.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】
(1)根据面面平行的判定定理,在面EFD内找两条相交直线平行于平面,即可证出;(2)根据等积法,
,先求出三角形DEF的面积,再求出
,即可求出点
到平面
的距离。
(1)由题意知:点是
的中点,
且
,
所以,所以四边形
是平行四边形,则
.
平面
,
平面
,所以
平面
.
又因为分别为
的中点,所以
.
平面
,
平面
,
所以平面
.
,所以平面
平面
.
(2)中,
,
,
,
所以,所以
因为平面平面
,
平面平面
所以平面
.
连,取
的中点
,连
,易知
,
平面
且
.
设点P到平面EFD的距离为d.
在Rt△中,
在Rt△中,
在Rt△中,
在Rt△中,
在△中,
,
即,
解得,
所以
所以.
因为平面平面
,
平面平面
,
平面
,
,所以,
平面
所以,
的长即是点
到平面
的距离.
在Rt△中,
,
所以,,
所以.
所以,
即,
即,解得
.
所以,点到平面
的距离为
.
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