题目内容
【题目】已知正四面体的表面积为
,
为棱
的中点,球
为该正四面体的外接球,则过点
的平面被球
所截得的截面面积的最小值为( )
A.B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
本题首先可以将正四面体放入正方体中,然后借助正方体的性质得出外接球的球心,通过正四面体的表面积为
即可计算出
长,从而求得外接球的半径
,利用截面圆的性质求得最小截面圆的半径径,问题得解。
如图所示,
将正四面体放入正方体中,则正方体的中心即为其外接球的球心,
因为正四面体的表面积为
,
所以,
因为是正三角形,所以
,
,
设正方体的边长为,则:
,解得:
所以正四面体的外接球直径为
,
设过点的截面圆半径为
,球心
到截面圆的距离为
,正四面体
的外接球半径为
,
由截面圆的性质可得:
当最大时,
最小,此时对应截面圆的面积最小.
又,所以
的最大值为
,此时
最小为
所以过点的最小截面圆的面积为
,故选B。
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