题目内容
【题目】已知动点到直线
的距离比到定点
的距离大1.
(1)求动点的轨迹
的方程.
(2)若为直线
上一动点,过点
作曲线
的两条切线
,
,切点为
,
,
为
的中点.
①求证:轴;
②直线是否恒过一定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)①证明见解析;②
.
【解析】
(1)由题意知,动点到直线
的距离等于到定点
的距离,符合抛物线的定义,求轨迹
的方程为
;
(2)①设动点,
,
,利用导数求出切线
的方程分别为:
、
,从而有
,
为方程
的两根,证明点
的横坐标与点
的横坐标相等,从而证得
轴;
②由①中的结论,把直线的方程写成含有参数
的形式,即
并把方程看成关于的一次函数,从而得到定点为
。
(1)由动点到直线
的距离比到定点
的距离大1得,
动点到直线
的距离等于到定点
的距离,
所以点的轨迹为顶点在原点、开口向上的抛物线,其中
,
轨迹方程为.
(2)①设切点,
,
,所以切线
的斜率为
,
切线.
设,则有
,化简得
.
同理可得.
所以,
为方程
的两根.
则有,
,所以
.
因此轴.
② 因为,
所以.又因为
,
所以直线,即
.
即直线过定点.
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