[题目]如图所示,四棱锥的底面是直角梯形.平面.,为中点.且.(1)求证:平面,(2)若与底面所成角为.求二面角的余弦值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】如图所示,四棱锥的底面是直角梯形，平面，,为中点，且.

（1）求证：平面；

（2）若与底面所成角为，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）推导出及，则可证明平面.

（2）由已知线面角可得，以为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面SBC的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）因为平面，平面，所以

在直角梯形中，,∴，∴，

又,所以平面.

（2）因为平面，所以是与底面所成角，，所以

以为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，

由题意得B（4，0，0），E（2，0，0），C（2，2，0），S（0，0，2 ），

设平面的法向量为（x，y，z），

∴．

所以，即，

面的法向量，同理得面的法向量

二面角的余弦值为

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